概率论基础

本文总结了概率论的基础知识,主要是一些定义。

概率空间

事件域

定义 1:对于试验 SS,样本空间为 Ω\Omega,用 FF 表示 Ω\Omega 的某些子集构成的集合,如果 FF 满足下面的条件,就称之为 Ω\Omega事件域或者 σ\sigma

  1. ΩF\Omega \in F
  2. AF    AˉFA \in F \implies \bar{A} \in F
  3. AjF    j=1nAjFA_j \in F \implies \cup_{j=1}^nA_j \in F

这样,我们称 FF 中的元素为事件,(Ω,F)(\Omega, F)可测空间。也就是说 FF 中的每个元素(都是集合)是可测的。

概率测度

补充一下测度的知识:

数学上,测度(Measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积、概率等等。 传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。

接下来在可测空间上引入概率测度。

定义 2:设 (Ω,F)(\Omega, F) 是可测空间,PP 是定义在 FF 上的函数,如果 PP 满足下面的条件,就称之为 FF 上的概率测度

  1. 非负性:AF,P(A)0\forall A \in F, P(A) \ge 0
  2. 完全性:P(Ω)=1P(\Omega) = 1
  3. 可列可加性:对于 FF 中互不相容的事件 A1,A2,...A_1, A_2, ...P(j=1Aj)=j=1P(Aj)P\left(\cup_{j=1}^\infty A_j\right) = \sum_{j=1}^{\infty}P(A_j)

概率测度简称概率,我们称 (Ω,F,P)(\Omega, F, P) 为概率空间。

对于 AΩA \subset \Omega,如果 P(A)=1P(A) = 1,就称 AA 以概率 1 发生或者几乎处处发生,或者几乎必然(almost surely, 反义词是 almost never)。维基百科 举了几个很好的例子,比如,向边长为 1 的靶子扔飞镖,用 A 表示『击中对角线』,B 表示『不击中对角线』。A 发生的概率为 0,但是可能发生,因此叫『几乎不发生』,B 发生的概率为 1,但是可能不发生,因此叫『几乎必然』。这在连续性事件概率模型中是常见的,就像在数轴上取一个点,取中每个点的概率均为 0,但是仍然是有可能发生的。

将任意事件变换为不相容事件

对于任何概率测度存在的的子集 A1,A2,...A_1, A_2, ...(无需互不相容),定义 A0=A_0 = \emptyset,并且:

Bj=Aji=1j1Ai,j=1,2,...B_j = A_j - \cup_{i=1}^{j-1}A_i, j = 1, 2, ...

则:

  1. BjB_j 互不相容,且测度存在
  2. 可列并 j=1nBj=j=1nAj,j=1,2,...\cup_{j=1}^{n}B_j = \cup_{j=1}^{n}A_j, j = 1, 2, ...

首先证明 Bj1B_{j_1}Bj2B_{j_2} 互不相容(不妨设 j1<j2j_1 < j_2):

Bj1Bj2=(Aj1i=1j11Ai)(Aj2i=1j21Ai)=B_{j_1} \cap B_{j_2} = (A_{j_1} - \cup_{i=1}^{j_1-1}A_i) \cap (A_{j_2} - \cup_{i=1}^{j_2-1}A_i) = \emptyset

结果等于空集是很显然的,因为左边的集合一定是 Aj1A_{j_1} 的子集,而右边的集合又一定不包含 Aj1A_{j_1} 中的任何元素。

然后证明第二条性质,采用归纳法证明:

奠基:

j=11Bj=A1A0=A0=A1\cup_{j=1}^1B_j = A_1 - A_0 \xlongequal{A_0 = \emptyset} A_1

j=12Bj=(A2A1)(A1A0)=A0=(A2A1)A1=A2A1\cup_{j=1}^2B_j = (A_2 - A_1) \cup (A_1 - A_0) \xlongequal{A_0 = \emptyset} (A_2 - A_1) \cup A_1 = A_2 \cup A_1

归纳:

已知

j=1k1Bj=j=1k1Aj\cup_{j=1}^{k-1}B_j = \cup_{j=1}^{k-1}A_j

则有:

j=1kBj=(Akj=1k1Aj)(j=1k1Aj)=j=1kAj\cup_{j=1}^kB_j = \left(A_k - \cup_{j=1}^{k-1}A_j\right) \cup \left(\cup_{j=1}^{k-1}A_j\right) = \cup_{j=1}^kA_j

概率的性质

性质 1:P(AB)=P(A)P(B)P(A-B) = P(A) - P(B)

证明:

P(A)=P(AB+B)=P(AB)+P(B),P(B)0P(A) = P(A-B+B) = P(A-B)+P(B), P(B) \ge 0

性质 2:P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A+B)

证明:

P(AB)=P(A+AˉB)=P(A)+P(AˉB)=P(A)+P(AˉB)+P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)P(A \cup B) = P(A+\bar{A}B) = P(A)+P(\bar{A}B) = P(A)+P(\bar{A}B)+P(AB)-P(AB) = P(A)+P(B)-P(A+B)

性质 3:P(i=1nAi)i=1nP(Ai)P\left(\cup_{i=1}^nA_i\right) \le \sum_{i=1}^nP(A_i)

证明:

由性质 2 不断进行归纳即可得到。

**性质 4:**Jordan 公式:pk=1j1<j2<<jknP(Aj1Aj2Aj3Ajk)p_k = \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n }P(A_{j_1}A_{j_2}A_{j_3} \cdots A_{j_k}),即是从 nn 个事件中选取 kk 个的概率总和。有 P(i=1nAi)=k=1n(1)k1pkP\left(\cup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}p_k,便于记忆:奇整偶负。

证明:

引入示性函数,对于事件集合 AA,对所有样本空间 Ω\Omega 中的元素 ω\omega,在 AA 中则取 1,否则取 00

IA(ω)={1,ωA0,ωAωΩI_A(\omega) = \begin{cases} 1, \omega \in A \\ 0, \omega \notin A \end{cases} \forall \omega \in \Omega

现在要证明:

P(i=1nAi)=k=1n(1)k11j1<j2<<jknP(Aj1Aj2Aj3Ajk)P\left(\cup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n }P(A_{j_1}A_{j_2}A_{j_3} \cdots A_{j_k})

就是要证明:

Ii=1nAi(ω)=k=1n(1)k11j1<j2<<jknIAj1Aj2Aj3Ajk(ω),ωΩI_{\cup_{i=1}^nA_i}(\omega) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n }I_{A_{j_1}A_{j_2}A_{j_3} \cdots A_{j_k}}(\omega), \forall \omega \in \Omega

证明过程如下:

Ii=1nAi(ω)=1Ii=1nAi(ω)=1Ii=1nAi(ω)=1IA1(ω)IA2(ω)IAn(ω)=1[1IA1(ω)][1IA2(ω)][1IAn(ω)]=l0k=1n(1)k11j1<j2<<jknIAj1Aj2Aj3Ajk(ω),ωΩ\begin{aligned} I_{\cup_{i=1}^nA_i}(\omega) &= 1 - I_{\overline{\cup_{i=1}^nA_i}}(\omega) \\ &= 1 - I_{\cap_{i=1}^n\overline{A_i}}(\omega) \\ &= 1 - I_{\overline{A_1}}(\omega)I_{\overline{A_2}}(\omega) \cdots I_{\overline{A_n}}(\omega) \\ &= 1 - [1-I_{A_1}(\omega)][1-I_{A_2}(\omega)] \cdots [1-I_{A_n}(\omega)]\\ &= l0\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n }I_{A_{j_1}A_{j_2}A_{j_3} \cdots A_{j_k}}(\omega), \forall \omega \in \Omega \end{aligned}

常用分布

泊松分布

泊松分布的概率分布为:

P(X=k)=λkk!eλ,k=1,2,,n,P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k = 1, 2, \cdots, n, \cdots

它的均值和方差分别为:

E(X)=λD(X)=λE(X) = \lambda \\ D(X) = \lambda

证明过程需要用到 eae^a 的泰勒展开:

ea=t=0att!e^a = \sum_{t=0}^{\infty}\frac{a^t}{t!}

E(X)=kkP(X=k)=k=0kλkeλk!=eλk=0kλkk!=eλk=1kλkk!=keλk=1λk(k1)!=λλeλk=1λk1(k1)!=t=k1λeλt=0λtt!=λeλeλ=λ\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k}kP(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!} \\ &\xlongequal{消去阶乘中的一个 k} e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} \\ &\xlongequal{移出一个 \lambda} \lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\ &\xlongequal{t = k-1}\lambda e^{-\lambda}\sum_{t=0}^{\infty}\frac{\lambda^{t}}{t!} \\ &= \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda} = \lambda \end{aligned}

D(X)=E(Xμ)2=k(kμ)2P(X=k)=\begin{aligned} D(X) &= E|(X-\mu)^2| \\ &= \sum_{k}(k-\mu)^2P(X=k) \\ &= \end{aligned}

发现应算算不下去,改用:

D(X)=E(X2)[E(X)]2D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \\

E(X2)=kk2P(X=k)=k=0k2λkeλk!\begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k}k^2P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ \end{aligned}

发现 k2k^2 不太好消,改用 k(k1)k(k-1)

E[X(X1)]=k=0k(k1)λkeλk!=eλk=2λk(k2)!=λ2eλt=0λtt!=λ2eλeλ=λ2\begin{aligned} E[X(X-1)] &= \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^k}{(k-2)!} \\ &= \lambda^2e^{-\lambda}\sum_{t=0}^{\infty}\frac{\lambda^t}{t!} \\ &= \lambda^2 e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ &= \lambda^2 \end{aligned}

E(X2)E(X)=λ2E(X^2) - E(X) = \lambda^2

E(X2)=λ2+λE(X^2) = \lambda^2 + \lambda

D(X)=E(X2)[E(X)]2=λ2+λλ2=λD(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda

练习

维纳过程

W(t)W(t)c2=σ2c^2 = \sigma^2 的维纳过程,X(t)=W2(t)X(t) = W^2(t)

则有均值函数

mX(t)=E{W2(t)}=D[W(t)]+E[W(t)]2=W(0)=0,W(t)N(0,σ2t)σ2t\begin{aligned} m_X(t) &= E\{W^2(t)\} = D[W(t)] + E[W(t)]^2 \\ &\xlongequal{这里假设 W(0) = 0, 则 W(t) \sim N(0, \sigma^2t)} \sigma^2t \end{aligned}

自相关函数

RX(s,t)=E{W2(s)W2(t)},s>t=E{[W(s)W(t)+W(t)]2W2(t)}=E{[W(s)W(t)]2W2(t)+2[W(s)W(t)]W3(t)+W4(t)}=E{[W(s)W(t)]2}E[W2(t)]+2E[W(s)W(t)]E[W3(t)]+E[W4(t)]=σ2(st)σ2t+0+E[W4(t)]\begin{aligned} R_X(s, t) &= E\{W^2(s)W^2(t)\}, 假设 s > t \\ &\xlongequal{想办法利用独立增量过程的性质} E\{[W(s)-W(t) + W(t)]^2 \cdot W^2(t)\} \\ &= E\left\{\left[W(s)-W(t)\right]^2W^2(t) + 2\left[W(s)-W(t)\right]W^3(t) + W^4(t)\right\} \\ &= E\left\{\left[W(s)-W(t)\right]^2\right\} \cdot E\left[W^2(t)\right] + 2E\left[W(s)-W(t)\right] \cdot E[W^3(t)] + E[W^4(t)] \\ &= \sigma^2(s-t) \cdot \sigma^2t + 0 + E[W^4(t)] \end{aligned}

单独来计算一下 E[W4(t)]E[W^4(t)],可以参考 Proving E[X4]=3σ4,因为:

W(t)W(0)N(0,σ2t)W(t)N(0,σ2t)\begin{aligned} W(t) - W(0) &\sim N(0, \sigma^2t) \\ W(t) &\sim N(0, \sigma^2 t) \end{aligned}

有:

fW(t)(x)=12πσ2texp{x22σ2t}f_{W(t)}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2 t}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\}

进而:

E[W4(t)]=+fW(t)(x)x4dx=+x42πσ2texp{x22σ2t}dx=+x322πσ2texp{x22σ2t}dx2=+x3σ2t2πexp{x22σ2t}d[x22σ2t]=+x3σ2t2πdexp{x22σ2t}={x3σ2t2πexp{x22σ2t}}++exp{x22σ2t}d{x3σ2t2π}=+3x2σ2t2πexp{x22σ2t}dx=+3xσ2t22πexp{x22σ2t}dx2=+3xσ2tσ2t2πexp{x22σ2t}d[x22σ2t]=+3xσ2tσ2t2πdexp{x22σ2t}={3xσ2tσ2t2πexp{x22σ2t}}++exp{x22σ2t}d[3xσ2tσ2t2π]=+3σ2tσ2t2πexp{x22σ2t}dx=3σ4t2+12πσ2texp{x22σ2t}dx=3σ4t2\begin{aligned} E[W^4(t)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}f_{W(t)}(x) \cdot x^4 dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^4}{\sqrt{2\pi \sigma^2 t}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^3}{2\sqrt{2\pi \sigma^2 t}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx^2 \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} -\frac{x^3 \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} d\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right] \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} -\frac{x^3 \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}} d\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} \\ &\xlongequal{分部积分} \left\{-\frac{x^3 \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\}\right\}\Bigg|_{-\infty}^{+\infty}- \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} d\left\{-\frac{x^3 \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\right\}\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3x^2 \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3x \sqrt{\sigma^2 t}}{2\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx^2 \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} -\frac{3x \sigma^2 t \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} d\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right] \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} -\frac{3x \sigma^2 t \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}} d\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} \\ &\xlongequal{分部积分} \left\{-\frac{3x \sigma^2 t \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\}\right\}\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} d \left[-\frac{3x \sigma^2 t \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\right] \\ &= -\int_{-\infty}^{+\infty}-\frac{3 \sigma^2 t \sqrt{\sigma^2 t}}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx \\ &= 3\sigma^4t^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2 t}} \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2 t}\right\} dx \\ &= 3\sigma^4t^2 \end{aligned}

这里用到了 Gaussian integral

ex2dx=π{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}

e(x2σ2t)2dx2σ2t=π{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(\frac{x}{\sqrt{2\sigma^2t}})^{2}}\,d\frac{x}{\sqrt{2\sigma^2t}}={\sqrt {\pi }}}

12σ2te(x2σ2t)2dx=π\frac{1}{\sqrt{2\sigma^2t}}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(\frac{x}{\sqrt{2\sigma^2t}})^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}

e(x2σ2t)2dx=π2σ2t{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(\frac{x}{\sqrt{2\sigma^2t}})^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\sqrt{2\sigma^2t}}

复随机过程

已知实随机过程 X(t)X(t) 具有自相关函数 RX(s,t)R_X(s, t),令

Y(t)=X(t+a)X(t)Y(t) = X(t+a) - X(t)

RY(s,t)R_Y(s, t)

RY(s,t)=E[Y(s)Y(t)]=E{[X(s+a)X(s)][X(t+a)X(t)]}=E[X(s+a)X(t+a)X(s+a)X(t)X(s)X(t+a)+X(s)X(t)]=RX(s+a,t+a)RX(s+a,t)RX(s,t+a)+RX(s,t)\begin{aligned} R_Y(s, t) &= E\left[ Y(s)\overline{Y(t)} \right] \\ &= E\left\{ [X(s+a) - X(s)][X(t+a) - X(t)] \right\} \\ &= E\left[ X(s+a)X(t+a) - X(s+a)X(t) - X(s)X(t+a) + X(s)X(t) \right] \\ &= R_X(s+a, t+a) - R_X(s+a, t) - R_X(s, t+a) + R_X(s, t) \\ \end{aligned}

二阶矩过程

二阶矩过程的均值函数和相关函数必然存在。

定义: 随机过程 {X(t),tT}\{X(t), t \in T\},如果 tT,E[X2(t)]<\forall t \in T, E[X^2(t)] < \infty,则称 {X(t),tT}\{X(t), t \in T\} 是二阶矩过程。

{E[X(t)]}2=E[X2(t)]D[X(t)]<\begin{aligned} \left\{E[X(t)]\right\}^2 &= E[X^2(t)] - D[X(t)] \\ &< \infty \end{aligned}

所以:

E[X(t)]<E[X(t)] < \infty

均值函数存在。

R(s,t)=E[X(s)X(t)]=...\begin{aligned} R(s, t) &= E[X(s)X(t)] \\ &= ... \\ \end{aligned}

这里需要用到柯西不等式:

(uv)2(uu)(vv)(i=1nxiyi)2i=1nxi2j=1nyj2(abfgdx)2abf2dxabg2dx\begin{aligned} (u \cdot v)^2 \le (u \cdot u)(v \cdot v) \\ \left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 \le \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \sum_{j=1}^{n}y_j^2 \\ \left(\int_a^bf \cdot gdx\right)^2 \le \int_a^bf^2dx\int_a^bg^2dx \end{aligned}

回到上面的式子继续证明,我们用到第二个柯西不等式,有:

E2(XY)E(X2)E(Y2)E^2(XY) \le E(X^2)E(Y^2)

R(s,t)=E[X(s)X(t)]{E[X2(s)]E[X2(t)]}12<\begin{aligned} R(s, t) &= E[X(s)X(t)] \\ &\le \left\{ E[X^2(s)]E[X^2(t)] \right\}^\frac{1}{2} \\ &< \infty \end{aligned}

所以自相关函数存在。

在随机过程是二阶矩的前提之下,相关函数 RX(s,t)R_X(s, t) 具有以下性质:

  1. 共轭对称性

    RX(s,t)=RX(t,s),s,tT\overline{R_X(s, t)} = R_X(t, s), s, t \in T

    很显然,因为存在,所以相等

  2. 非负定性

    n1,t1,,tnT\forall n \ge 1, \forall t_1, \cdots, t_n \in Tλ1,,λn\forall \lambda_1, \cdots, \lambda_n,有:

    k=1nl=1nRX(tk,tl)λkλl0\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}R_X(t_k, t_l)\lambda_k\overline{\lambda_l} \ge 0

    证明:

    k=1nl=1nRX(tk,tl)λkλl=k=1nl=1nE[X(tk)λkX(tl)λl]=E[k=1nl=1nX(tk)λkX(tl)λl]=E[[k=1nX(tk)λk][l=1nX(tl)λl]]=E[[k=1nX(tk)λk][l=1nX(tl)λl]]=E[k=1nX(tk)λk2]\begin{aligned} & \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}R_X(t_k, t_l)\lambda_k\overline{\lambda_l} \\ =& \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}E\left[X(t_k)\lambda_k\overline{X(t_l)\lambda_l}\right] \\ =& E\left[\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}X(t_k)\lambda_k\overline{X(t_l)\lambda_l}\right] \\ =& E\left[\left[\sum_{k=1}^{n}X(t_k)\lambda_k\right]\left[\sum_{l=1}^{n}\overline{X(t_l)\lambda_l}\right]\right] \\ =& E\left[\left[\sum_{k=1}^{n}X(t_k)\lambda_k\right]\overline{\left[\sum_{l=1}^{n}X(t_l)\lambda_l\right]}\right] \\ =& E\left[\left|\sum_{k=1}^{n}X(t_k)\lambda_k\right|^2\right] \\ \end{aligned}

文章作者: upupming
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