傅里叶变换、{能量,功率,互}谱密度、白噪声随机过程

一篇文章详细搞懂傅里叶变换的数学推导及其本质、应用等等。

傅里叶变换

19 世纪早期,Joseph Fourier 发现任何周期函数可以表示为正余弦函数的级数和。这就是傅里叶级数。

变换过程如下图所示:

fourier-transform

傅里叶级数

傅里叶级数有两种形式,分别是三角形式(Trigonometric)和指数形式(Exponential),表示如下:

x(t)=a0+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))Trigonometric=n=cnejnω0tExponential\begin{aligned} x\left( t \right) &= a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right)} \quad \quad Trigonometric \cr &= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {c_n e^{jn\omega _0 t} } \quad \quad Exponential \end{aligned}

我们将在后面证明两者的等价性。

现在首先证明三角形式的傅里叶级数展开是正确的,证明过程分为三步:

  1. 证明偶周期函数的傅里叶级数展开式
  2. 证明奇周期函数的傅里叶级数展开式
  3. 证明任意周期函数的傅里叶级数展开式

偶周期函数的傅里叶级数展开式

偶周期函数 xe(t)x_e(t)

xe(t)=n=0ancos(nω0t)x_e (t) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)}

因为当 n=0n = 0 时,cos(nωt)=1\cos(n\omega t) = 1,所以通常也会写为:

xe(t)=a0+n=1ancos(nω0t)x_e (t) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)}

这个过程可以理解为『生成』过程,通过叠加一系列周期不同的波,赋予不同的系数 ana_n,最终形成了我们想要的偶周期函数 xe(t)x_e(t)

a0a_0 就是 xe(t)x_e(t) 一个周期内的平均值,下面将会证明。

证明上面的式子的正确性,就是要证明 ana_n 的存在性,那么我们一个一个解出这些 ana_nbnb_n 即可。

左右两边同乘 cos(mω0t)\cos ( {m\omega _0 t}),便于后续利用正交性质:

xe(t)cos(mω0t)=n=0ancos(nω0t)cos(mω0t)x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)} \cos \left( {m\omega _0 t} \right)

对一个周期进行积分:

Txe(t)cos(mω0t)dt=Tn=0ancos(nω0t)cos(mω0t)dt\int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} = \int\limits_T {\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)} \cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt}

积分号移到求和号内部,同时利用 cosacosb=12[cos(a+b)+cos(ab)]\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a+b) + \cos(a-b)\right] 积化和差:

Txe(t)cos(mω0t)dt=n=0anTcos(nω0t)cos(mω0t)dt=n=0anT12(cos((m+n)ω0t)+cos((mn)ω0t))dt=12n=0anT(cos((n+m)ω0t)+cos((mn)ω0t))dt\begin{aligned} \int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} } \\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T { {1 \over 2}\left( {\cos \left( {\left( {m + n} \right)\omega _0 t} \right) + \cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)} \right)dt} } \\ & = {1 \over 2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\left( {\cos \left( {\left( {n + m} \right)\omega _0 t} \right) + \cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)} \right)dt} } \end{aligned}

将和的积分转为积分的和,同时利用余弦函数一个周期之内的积分为 0,对于 cos((n+m)ω0t)\cos \left( {\left( {n+m} \right)\omega _0 t}\right),它的周期为 Tn+m\frac{T}{n+m},所以在 TT 内经过了 (n+m)(n+m) 个周期,积分一定为 0。

Txe(t)cos(mω0t)dt=12n=0anT(cos((n+m)ω0t)+cos((mn)ω0t))dt=12n=0an(Tcos((n+m)ω0t)dt+Tcos((mn)ω0t)dt)=12n=0anTcos((mn)ω0t)dt\begin{aligned} \int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} &= \frac{1} {2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\left( {\cos \left( {\left( {n + m} \right)\omega _0 t} \right) + \cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)} \right)dt} } \\ & = \frac{1} {2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \left( {\int\limits_T {\cos \left( {\left( {n + m} \right)\omega _0 t} \right)dt} + \int\limits_T {\cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)dt} } \right)} \\ & = \frac{1} {2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)dt} } \end{aligned}

cos((mn)ω0t)\cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right) 的取值则需要根据 m,nm, n 的差值来确定:

Txe(t)cos(mω0t)dt=12n=0anTcos((mn)ω0t)dt={T0dt=0,mnT1dt=T,m=n\begin{aligned} \int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} &= {1 \over 2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)dt} } \\ &= \begin{cases} \int_T0 \cdot dt = 0, m \neq n \\ \int_T1\cdot dt = T, m = n \end{cases} \end{aligned}

回到之前的积分:

Txe(t)cos(mω0t)dt=12n=0anTcos((mn)ω0t)dt\int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} = {1 \over 2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {\left( {m - n} \right)\omega _0 t} \right)dt} }

只有 m=nm=n 的时候,右边的式子才不为 0,这样我们得到:

Txe(t)cos(mω0t)dt=12amTam=2TTxe(t)cos(mω0t)dtan=2TTxe(t)cos(nω0t)dt\int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} = {\frac{1}{2}}a_m T \\ a_m = {\frac{2}{T}}\int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} \\ a_n = {2 \over T}\int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {n\omega _0 t} \right)dt}

在最后一个式子中,简单地用 nn 替代了上一个式子的 mm,最终就求出了所有的 ana_n

证明过程还没有结束,因为没有考虑到 m=0m = 0 的情况,如果 m=0m = 0,上面的 m+nm+n 就不一定为大于等于 11 的整数了(在 n=0n = 0 的时候),也就得不出正交条件。

下面单独考虑:

Txe(t)cos(mω0t)dt=n=0anTcos(nω0t)cos(mω0t)dtTxe(t)cos(0ω0t)dt=n=0anTcos(nω0t)cos(0ω0t)dtbut cos(0ω0t)=1Txe(t)dt=n=0anTcos(nω0t)dtTxe(t)dt=Ta0\begin{aligned} \int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\cos \left( {m\omega _0 t} \right)dt} } \cr \int\limits_T {x_e (t)\cos \left( {0 \cdot \omega _0 t} \right)dt} &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\cos \left( {0 \cdot \omega _0 t} \right)dt} } \quad \quad {\text{but }}\cos \left( {0 \cdot \omega _0 t} \right) &= 1 \cr \int\limits_T {x_e (t)dt} &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \int\limits_T {\cos \left( {n\omega _0 t} \right)dt} } \cr \int\limits_T {x_e (t)dt} &= Ta_0 \end{aligned}

这样就得到了 a0a_0 其实就是函数的均值:

a0=1TTxe(t)dt=average of xe(t)a_0 = \frac{1} {T}\int\limits_T {x_e (t)dt} = {\text{average of x}}_e \left( t \right)

奇周期函数的傅里叶级数展开式

奇周期函数 xo(t)x_o(t)

xo(t)=0bnsin(nω0t)xx_o(t) = \sum_0^{\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)x

使用类似于上面的过程,容易证明:

bn=2TTxo(t)sin(nω0t)dtb_n = \frac2T\int\limits_T {x_o (t)\sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt}

任意周期函数的傅里叶级数展开式

对于任意周期函数 x(t)x(t)

xo(t)=12[x(t)x(t)]xe(t)=12[x(t)+x(t)]x_o \left( t \right) = \frac{1} {2}\left[ {x\left( t \right) - x\left( { - t} \right)} \right] \\ x_e \left( t \right) = \frac{1} {2}\left[ {x\left( t \right) + x\left( { - t} \right)} \right] \\

分别对 xo(t)x_o(t)xe(t)x_e(t) 求解傅里叶级数,最后解出 x(t)x(t) 即可:

x(t)=xo(t)+xe(t)x(t) = x_o(t) + x_e(t)

最终得到:

xT(t)=a0+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))x_T \left( t \right) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right)}

其中:

a0=1TTxT(t)dt  =  averagean=2TTxT(t)cos(nω0t)dt,n0bn=2TTxT(t)sin(nω0t)dt\begin{aligned} a_0 &= {1 \over T}\int\limits_T {x_T \left( t \right)dt} \; = \;average \\ a_n &= {2 \over T}\int\limits_T {x_T \left( t \right)\cos \left( {n\omega _0 t} \right)dt} ,\quad n \ne 0 \\ b_n &= {2 \over T}\int\limits_T {x_T \left( t \right)\sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt} \cr\end{aligned}

证明完了三角形式展开的正确性,我们下面证明其与指数形式的等价性。

三角形式级数与指数形式的等价性

要证明三角形式级数:

xT(t)=a0+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))x_T \left( t \right) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right)}

与指数形式级数的等价性:

xT(t)=n=+cnejnω0tx_T \left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{jn\omega _0 t} }

就是要证明:

a0+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))=n=+cnejnω0ta_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right)} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{jn\omega _0 t} }

下文假设 xTx_T 为实函数,那么 an,bna_n, b_n 都将是实数。首先考虑常数项:

a0=c0a_0 = c_0

所以 c0c_0 也是函数 xTx_T 的均值。只考虑周期为 TT 的分量,有:

a1cos(ω0t)+b1sin(ω0t)=c1ejω0t+c1e+jω0ta_1 \cos (\omega _0 t) + b_1 \sin (\omega _0 t) = c_{ - 1} e^{ - j\omega _0 t} + c_1 e^{ + j\omega _0 t}

只考虑周期为 T2\frac{T}{2} 的分量:

a2cos(2ω0t)+b2sin(2ω0t)=c2ej2ω0t+c2e+j2ω0ta_2 \cos (2\omega _0 t) + b_2 \sin (2\omega _0 t) = c_{ - 2} e^{ - j2\omega _0 t} + c_2 e^{ + j2\omega _0 t}

推广到普遍情况,有:

ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)=cnejnω0t+cne+jnω0ta_n \cos (n\omega _0 t) + b_n \sin (n\omega _0 t) = c_{ - n} e^{ - jn\omega _0 t} + c_n e^{ + jn\omega _0 t}

这里简单分析一下。根据欧拉公式 ejnω0te^{ - jn\omega _0 t}ejnω0te^{ - jn\omega _0 t} 是共轭的,为了消去它们的虚部,显然 cnc_{-n}cnc_n 也需要共轭才行。不妨令 cn=cn,r+jcn,ic_n = c_{n, r} + j\cdot c_{n,i},这样 cn=cn=cn,rjcn,ic_{-n} = c^*_{n} = c_{n,r} - j\cdot c_{n,i},这样我们将右边展开来和左边进行对比一下:

ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)=cnejnω0t+cne+jnω0t=(cn,rjcn,i)(cos(nω0t)jsin(nω0t))+(cn,r+jcn,i)(cos(nω0t)+jsin(nω0t))=2cn,rcos(nω0t)2cn,isin(nω0t)+j(cos(nω0t)(cn,rcn,r)+sin(nω0t)(cn,icn,i))=2cn,rcos(nω0t)2cn,isin(nω0t)\begin{aligned} a_n \cos (n\omega _0 t) + b_n \sin (n\omega _0 t) &= c_{ - n} e^{ - jn\omega _0 t} + c_n e^{ + jn\omega _0 t} \cr &= (c_{n,r} - jc_{n,i} )\left( {\cos \left( {n\omega _0 t} \right) - j\sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right) + (c_{n,r} + jc_{n,i} )\left( {\cos \left( {n\omega _0 t} \right) + j\sin \left( {n\omega _0 t} \right)} \right) \cr &= 2c_{n,r} \cos \left( {n\omega _0 t} \right) - 2c_{n,i} \sin \left( {n\omega _0 t} \right) + j\left( {\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\left( {c_{n,r} - c_{n,r} } \right) + \sin \left( {n\omega _0 t} \right)\left( {c_{n,i} - c_{n,i} } \right)} \right) \cr &= 2c_{n,r} \cos \left( {n\omega _0 t} \right) - 2c_{n,i} \sin \left( {n\omega _0 t} \right) \cr\end{aligned}

对比得到:

an=2cn,rbn=2cn,ia_n = 2c_{n,r} \\ b_n = -2c_{n,i} \\

即:

cn=an2jbn2, n0,with cn=cn=1TTx(t)cos(nω0t)dtj1TTx(t)sin(nω0t)dt=1TTx(t)ejnω0tdt\begin{aligned} c_n &=\frac{a_n}2-j\frac{b_n}2, \ n \ne 0, \quad with \ c_{-n}=c_n^* \\ &= \frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cos(n\omega_0t)dt - j\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\sin(n\omega_0t)dt \\ &= \frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jn\omega_0 t}dt \end{aligned}

从傅里叶级数到傅里叶变换

对于周期函数 xT(t)=xT(t+T)x_T(t)=x_T(t+T),傅里叶级数展开为:

xT(t)=F1[X[k]]=k=X[k]ejkω0tx_T(t) = \mathcal{F}^{-1}[X[k]] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]e^{jk\omega_0 t}

这里的 X[k]X[k] 相当于前文的 cnc_n,是傅里叶系数:

X[k]=F[xT(t)]=1TTxT(t)ejkω0tdtX[k] = \mathcal{F}[x_T(t)] = \frac{1}{T}\int_T x_T(t)e^{-jk\omega_0 t}dt

我们定义:

X(kω0)TX[k]=TxT(t)ejkω0tdtX(k\omega_0) \equiv TX[k] = \int_T x_T(t)e^{-jk\omega_0 t}dt

傅里叶级数展开形式就变成了:

xT(t)=1Tk=TX[k]ejk2πf0t=12πk=X(kω0)ejkω0tω0x_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}TX[k]e^{jk2\pi f_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0

XT(t)X_T(t) 的周期 TT \to \infty 时,就变成了非周期函数。

两个频率分量之间的差值趋于 0:

T    ω0=2πT0T \to \infty \implies \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \to 0

离散的频率趋于连续:

kω0ω00    ωk\omega_0 | {\omega_0 \to 0} \implies \omega

作和变成了积分,这就是傅里叶逆变换:

x(t)limtxT(t)=limω0012πk=X(kω0)ejkω0tω0=12πX(ω)ejωtdωx(t) \equiv \lim_{t \to \infty}x_T(t) = \lim_{\omega_0 \to 0 }\frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)e^{jk\omega_0 t}\omega_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega

其中用到了:

limΔx0k=f(kΔx)Δx=f(x)dx\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k\Delta x)\Delta x = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx

同时在 TT 内的积分变成了在整个时间轴上的积分:

X(ω)limTX(kω0)=limTTxT(t)ejkω0tdt=x(t)ejωtdtX(\omega) \equiv \lim_{T \to \infty} X(k\omega_0) = \lim_{T\to \infty} \int_{T} x_T(t)e^{-jk\omega_0t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt

这就得到了前向傅里叶变换:

X(ω)=x(t)ejωtdtorX(f)=x(t)ej2πftdtX(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \quad or \quad X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt

逆傅里叶变换:

x(t)=12πX(ω)ejωtdω=X(f)ej2πftdfx(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df

平稳过程的功率谱密度

信号可以分为能量型信号和功率型信号两大类。一般来说,周期信号和随机信号是功率信号,而非周期的确定信号是能量信号。能量型『能量有限』、『平均功率为 0』的信号,功率型信号是『能量无限』、『平均功率不为 0』的信号。

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能量型信号

当且仅当信号在所有时间上的能量不为 0 且有限时,该信号为能量信号。典型的有方波信号、三角波信号等。对能量信号进行傅立叶分析可知其能量在频域的分布情况。

W=+f2(t)dt<W = \int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt < \infty

其中 f(t)f(t) 为信号,WW 为总能量。

傅里叶变换存在条件

回顾连续函数存在傅里叶变换的条件:

  1. f(t)f(t) 在任意区间上满足 Dirichlet 条件,即函数连续或只有有限个第一类间断点,且只有有限个极值点。

  2. f(t)f(t)(,+)(-\infty, +\infty) 上绝对可积

    f1f(t)dt<\displaystyle \left\Vert\,f\,\right\Vert _1 \triangleq \int_{-\infty}^\infty \left\vert f(t)\right\vert dt < \infty

    可以记作 fL1f \in L_1,即 ff 属于所有 L1L_1 范数有限(f1<+||f||_1 < +\infty)的信号组成的集合

    另一种表达形式是用二范数:

    f22+f(t)2dt<||f||_2^2 \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt < \infty

    可以记作 fL2f \in L_2

    更加推广,可以得到结论:只需 fLp,p[1,2]f \in L_p, p \in [1, 2] 即可。

    这是因为,很明显:

    +f(t)pdt<    +f(t)dt<,p[1,2]\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^pdt < \infty \implies \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt < \infty, p \in [1, 2]

能量谱密度

+f2(t)dt<\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt < \infty 或者 +f(t)dt<\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt < \infty 的情况下(2),能量型信号 f(t)f(t) 的傅里叶变换存在,即:

F(ω)=+f(t)ejωtdtF(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt

其逆变换为:

f(t)=12π+F(ω)ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega

F(ω)F(\omega) 称为信号 f(t)f(t) 的频谱函数。频谱函数的模称为 f(t)f(t) 的振幅频谱。

在傅里叶变换存在的条件下,函数满足 Parseval 等式:

W=+f(t)2dt=12π+F(ω)2dω=+F(2πξ)2dξW = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega = \int_{-\infty}^{+\infty}|F(2\pi\xi)|^2d\xi

根据上式,定义能量型信号的能量谱密度为:

E(ω)=F(ω)2E(\omega) = |F(\omega)|^2

这样就有:

W=12π+E(ω)dωW = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}E(\omega)d\omega

这意味着,时域和频域的能量是守恒的。只是相差一个系数 12π\frac{1}{2\pi},这个系数可以通过 ξ=ω2π\xi = \frac{\omega}{2\pi} 消除。

傅里叶变换的另一种形式为:

F(ξ)=+f(t) e2πjtξdt{\displaystyle {F}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\ e^{-2\pi jt\xi }\,dt}

其逆变换为:

f(t)=+F(ξ)e2πjtξdξf(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}F(\xi)e^{2\pi j t \xi}d\xi

不难得出:

+F(ξ)e2πjtξdξ=12π+F(ω)ejωtdω\int_{-\infty}^{+\infty}F(\xi)e^{2\pi j t \xi}d\xi = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega

这样的话就不会再有系数 12π\frac{1}{2\pi},前后两种傅里叶变换只是得到的傅里叶函数的自变量不同,本质上是一样的。

这其中用到的关键转换是:

ξ=w2π\xi = \frac{w}{2\pi}

因此得到的两个傅里叶变换只是自变量不同罢了,本质上是等价的。

功率型信号

能量无限,功率有限的信号称为功率型信号。一般是周期性信号。

由于『能量无限』,不再满足绝对可积的条件。

但是其『功率有限』:

Pf=limT12TTTf2(t)dt<P_f = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f^2(t)dt < \infty

PfP_f 为信号的平均功率。

为了能够利用傅里叶变换给出平均功率的谱表达式,构造截尾函数:

fT(t)={f(t),tT0,t>Tf_T(t) = \begin{cases} f(t), |t| \le T \\ 0, |t| > T \end{cases}

那么后续积分的时候只会算一个周期内的积分,fT(t)f_T(t) 满足绝对可积性质:

F(ω,T)=fT(t)ejωtdt=TTf(t)ejωtdtF(\omega, T) = \int_{-\infty}^{\infty}f_T(t)e^{-j\omega t}dt = \int_{-T}^{T}f(t)e^{-j\omega t}dt

之前对能量型定义的是能量,这里对功率型信号 fT(t)f_T(t) 定义平均功率:

PfT=+fT2(t)dtP_{f_T} = \int_{-\infty}^{+\infty}f^2_T(t)dt

由 Parseval 等式:

PfT=+fT2(t)dt=12π+F(ω,T)2dωP_{f_T} = \int_{-\infty}^{+\infty}f_T^2(t)dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega, T)|^2d\omega

两边同时除以 2T2T,并由截尾函数的定义得到:

12TTTf2(t)dt=14πT+F(ω,T)2dω\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f^2(t)dt = \frac{1}{4\pi T}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega, T)|^2d\omega

TT 趋于无穷,功率型信号 f(t)f(t)(,+)(-\infty, +\infty) 上的平均功率可表示为:

Pf=limT12TTTf2(t)dt=12π+limT12TF(ω,T)2dω\begin{aligned} P_f &= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f^2(t)dt \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}|F(\omega, T)|^2d\omega \end{aligned}

功率型信号的平均功率谱密度,简称功率谱密度,被定义为:

S(ω)=limTE{12TF(ω,T)2}S(\omega) = \lim_{T \to \infty} E\left\{\frac{1}{2T}|F(\omega, T)|^2\right\}

为什么需要取平均:不理解,问一下老师。

这样 PfP_f 就可以表示为:

Pf=12π+S(ω)dωP_f = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega

x^(ω)=12πF(ω,T)\hat{x}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}F(\omega, T)

E[x^(ω)2]=E[1T0Tx(t)eiωtdt0Tx(t)eiωtdt]=1T0T0TE[x(t)x(t)]eiω(tt)dtdt.{\displaystyle \mathbf {E} \left[\left|{\hat {x}}(\omega )\right|^{2}\right]=\mathbf {E} \left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}x^{*}(t)e^{i\omega t}\,dt\int _{0}^{T}x(t')e^{-i\omega t'}\,dt'\right]={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[x^{*}(t)x(t')\right]e^{i\omega (t-t')}\,dt\,dt'.}

S(ω)S(\omega) 为双边功率谱密度,但在实际应用中,负频率不存在,故引入:

G(ω)={2S(ω),ω00,ω<0G(\omega) = \begin{cases} 2S(\omega), \omega \ge 0 \\ 0, \omega < 0 \end{cases}

平稳随机过程的样本函数是功率型的,以上公式对平稳过程均适用。

谱密度与自相关函数

维纳-辛钦(Wiener-Khintchine )公式

平稳随机过程(必须呀!WSS,宽平稳随机过程也可以)的功率谱密度是他自相关函数的傅里叶变换。

自相关函数

自相关函数是时滞(time lag)的函数:

R(τ)=Rxx(τ)=E[x(t)x(t+τ)]=E[x(tτ)x(t)] {\displaystyle R(\tau) = R_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x^*(t)x(t + \tau)\,{\big ]} = \operatorname {E} {\big [}\,x^*(t-\tau )x(t)\,{\big ]}\ }

取共轭的是下标更小的那个,自相关、互相关都是这样的

注意:这里右边虽然有 tt,但是结果与 tt 是无关的,这就是平稳过程的特性。

满足:

Rf(τ)=Rf(τ)R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )

白噪声的自相关函数为 δδ 函数:

Rnn=E{n(t)n(tτ)}=δ(τ){\displaystyle R_{nn}={E} \{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )}

互相关函数:

(fg)(τ) =deff(t) g(t+τ)dt(fg)(τ) =deff(t) g(t+τ)dt{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t)\ g(t+\tau )\,dt} {\displaystyle (f\star g)(\tau )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t)\ g(t+\tau )\,dt}

RXY(τ)=E[XtYt+τ]{\displaystyle R_{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X^*_{t}Y_{t+\tau }\right]}

下标到底是前面大,还是后面大?哪个变量取共轭?

维基百科倾向于前面取共轭:

20181225133909.png

20181225133927.png

其他资料倾向于后面取共轭:

20181228004644.png

数学形式

如下:

S(ω)=+R(τ)ejωτdτS(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}R(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau

R(τ)=12π+S(ω)ejωtdωR(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega

另外,也有用圈频率的表达形式:

SX(f)=F{RX(τ)}=RX(τ)e2jπfτ  dτ,\begin{aligned} S_X(f)=\mathcal{F} \{R_X(\tau) \}= \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-2 j \pi f \tau} \; d\tau, \end{aligned}

RX(τ)=F1{SX(f)}=SX(f)e2jπfτ  df.\begin{aligned} R_X(\tau)=\mathcal{F}^{-1} \{S_X(f)\}= \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) e^{2 j \pi f \tau} \; df. \end{aligned}

例子:

20181225122937.png

证明

如下:

S(ω)=limTE{12TF(ω,T)2}=limT12TE{TTf(t1)ejωt1dt1TTf(t2)ejωt2dt2}=limT12TTTTTE[f(t1)f(t2)]ejω(t1t2)dt1dt2=limT12TTTTTR(t1t2)ejω(t1t2)dt1dt2=τ=t1t2limT12T2T2T(2Tτ)R(τ)ejωτdτ=limT2T2TR(τ)ejωτdτlimT2T2Tτ2TR(τ)ejωτdτ\begin{aligned} S(\omega) &= \lim_{T \to \infty} E\left\{\frac{1}{2T}|F(\omega, T)|^2\right\} \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}E\left\{\int_{-T}^{T}f(t_1)e^{-j\omega t_1}dt_1 \int_{-T}^{T}f(t_2)e^{-j\omega t_2}dt_2\right\} \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}E[f(t_1)f(t_2)]e^{-j \omega (t_1 - t_2)}dt_1dt_2 \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R(t_1 - t_2) e^{-j \omega (t_1 - t_2)} dt_1dt_2 \\ &\xlongequal{\tau = t_1 - t_2} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-2T}^{2T}(2T - |\tau|)R(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau \\ &= \lim_{T \to \infty} \int_{-2T}^{2T}R(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau - \lim_{T \to \infty} \int_{-2T}^{2T}\frac{|\tau|}{2T}R(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau \\ \end{aligned}

+R(τ)dτ<\int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|d\tau < \infty 的情况下,上式中第二项为 0,此时可以得到:

S(ω)=limT+R(τ)ejωτdτS(\omega) = \lim_{T \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty}R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau

也就是说,平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下,维纳-辛钦公式成立。

功率谱密度的第二种定义:自相关函数的傅里叶变换。

根据逆变换:

R(τ)=12π+S(ω)ejωτdωR(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega \tau}d\omega

τ=0\tau = 0,可以得到:

R(0)=12π+S(ω)dω=E[X2(t)]R(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega = E[X^2(t)]

也就是说,功率谱密度的积分是时滞为 0 时自相关函数的取值。

性质

实偶性质

X(t)X(t) 是实平稳的,则自相关函数也是实偶函数,功率谱密度也是实偶函数。

S(ω)=+R(τ)ejωτ=+R(τ)ejωτ=S(ω),S(ω)=+R(τ)ejωτ=+R(τ)ejωτ=S(ω),S^*(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}R^*(\tau)e^{-j\omega\tau} = \int_{-\infty}^{+\infty}R(\tau)e^{-j\omega\tau} = S(\omega), 实函数 \\ S(-\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}R(-\tau)e^{-j\omega\tau} = \int_{-\infty}^{+\infty}R(\tau)e^{-j\omega\tau} = S(\omega), 偶函数

等价形式

如下:

S(ω)=20R(τ)cos(ωτ)dτR(τ)=1π0+S(ω)cos(ωτ)dωS(\omega) = 2\int_{0}^{\infty}R(\tau)\cos(\omega\tau)d\tau \\ R(\tau) = \frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}S(\omega)\cos(\omega\tau)d\omega

互谱密度

定义如下:

SXY(ω)=limT12TE{FX(ω,T)FY(ω,T)}S_{XY}(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}E\left\{F_X(\omega, T)F_Y(\omega, T)\right\}

维纳-辛钦定理:

SXY(ω)=+RXY(τ)ejωτdτRXY(τ)=12π+SXY(ω)ejωτdωS_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}R_{XY}(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau \\ R_{XY}(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)e^{j\omega \tau}d\omega

圈频率形式:

SXY(f)=F{RXY(τ)}=RXY(τ)e2jπfτ  dτ.\begin{aligned} S_{XY}(f)=\mathcal{F} \{R_{XY}(\tau) \}= \int_{-\infty}^{\infty} R_{XY}(\tau) e^{-2 j \pi f \tau} \; d\tau. \end{aligned}

τ=0\tau = 0

RXY(0)=12π+SXY(ω)dω=E[X(t)Y(t)]R_{XY}(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)d\omega = E[X(t)Y(t)]

这就是互谱密度的物理意义:其积分表示时滞为 0 时互相关函数的大小。

  • 上式右边 X(t),Y(t)X(t), Y(t) 如果分别表示一个两端电压和流经该器件的电流,左边就是消耗的功率

功率谱密度的性质

正交过程:X(t),Y(t)X(t), Y(t) 满足:

RXY(τ)=0,SXY(ω)=0R_{XY}(\tau) = 0, S_{XY}(\omega) = 0

此时有:

RX+Y(τ)=RX(τ)+RY(τ)SX+Y(τ)=SX(ω)+SY(ω)R_{X+Y}(\tau) = R_{X}(\tau) + R_Y(\tau) \\ S_{X+Y}(\tau) = S_X(\omega) + S_Y(\omega)

性质:

SXY(ω)=SYX(ω)=SYX(ω)SXY(ω)2SX(ω)SY(ω)Re[SXY(ω)]=Re[SXY(ω)],Im[SXY(ω)]=Im[SXY(ω)],S_{XY}(\omega) = S^*_{YX}(\omega) = S_{YX}(-\omega) \\ S_{XY}(\omega)|^2 \le S_X(\omega)S_Y(\omega)\\ Re[S_{XY}(-\omega)] = Re[S_{XY}(\omega)], 实部是偶函数 \\ Im[S_{XY}(-\omega)] = Im[S_{XY}(\omega)], 虚部是奇函数

证明 1:

首先有:

RYX(τ)=RXY(τ)R^*_{YX}(\tau) = R_{XY}(-\tau)

这是因为:

RYX(τ)=x(t)y(t+τ)f(x,t;y,t+τ)dxdyR_{YX}^*(\tau) = \int\int x(t)y(t+\tau)f(x, t; y, t+\tau)dxdy

RXYR_{XY}

SXY(ω)=+RXY(τ)ejωτdτ=let λ=τ+RYX(λ)ejωλdλ=SYX(ω)jj\begin{aligned} S_{XY}(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty}R_{XY}(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau \\ &\xlongequal{\text{let }\lambda = -\tau} \int_{-\infty}^{+\infty}R_{YX}^*(\lambda)e^{j\omega\lambda}d\lambda \\ &= S_{YX}^*(\omega )(注意这里是共轭,对应上面的指数不是 -j而是 j) \end{aligned}

另外:

SXY(ω)=+RXY(τ)ejωτdτ=+RYX(λ)ej(ω)λdλ=SXY(ω)\begin{aligned} S_{XY}(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty}R_{XY}(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau \\ &\xlongequal{多取一个共轭} \int_{-\infty}^{+\infty}R_{YX}(\lambda)e^{-j(-\omega)\lambda}d\lambda \\ &= S_{XY}(-\omega ) \end{aligned}

证明 2:

证明 3:

白噪声过程

  • 均值为 0 的平稳过程
  • 功率谱密度恒定 S(ω)=N02,ω(,+)S(\omega) = \frac{N_0}{2}, \omega \in (-\infty, +\infty)N0N_0 表示单边功率谱密度,相当于冲激响应函数
  • 维纳辛钦公式:

    R(τ)=12π+N02ejωτdω=N0212π2πδ(τ)=N02δ(τ)\begin{aligned} R(\tau) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{N_0}{2}e^{j\omega\tau}d\omega \\ &= \frac{N_0}{2}\frac{1}{2\pi}2\pi\delta(\tau) \\ &= \frac{N_0}{2}\delta(\tau) \end{aligned}

上面的式子中,用到了一个有意思的积分,那就是:

+ejωtdω\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega

这其实与 狄拉克 δ\delta 函数, Dirac delta function的定义有微妙的关系。

狄拉克 δ\delta 函数

定义

笼统地来说,δ 函数是在实数线上的一个函数,在原点上无限,在所有其他点上为零,

δ(x)={+,x=00,x0{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}

并同时满足以下条件

δ(x)dx=1.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}

这只是一个概略的表述:δ 函数并不是一个严格意义上的函数,没有任何定义在实数集上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说,δ 函数可以定义为分布或测度。

傅里叶积分中的应用

历史上 δ\delta 函数的引入就是约瑟夫·傅里叶在傅里叶变换中发现的,后来被奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理。

aaejωtdω=ejωtjtaa=ejtaejtajt=2jsintajt=2asintata\int_{-a}^{a} e^{j\omega t}d\omega=\frac{e^{j\omega t}}{jt}|_{-a}^{a}=\frac{e^{jta}-e^{-jta}}{jt}=\frac{2j\sin{ta}}{jt}=2a\frac{\sin{ta}}{ta}

a+a \to +\infty,项 sintata=πδ(ta)=π1aδ(t)\frac{\sin{ta}}{ta} = \pi\delta(ta) = \pi\frac{1}{a}\delta(t),其中 δ\delta 就是狄拉克 δ\delta 函数。参见 Relationship to the Dirac delta distribution

最终我们有:

+ejωtdω=2πδ(t)\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega = 2\pi\delta(t)

也就是说:

12π+ejωtdω=δ(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega = \delta(t)

这个公式的物理意义是:常数 1 与 δ(t)\delta(t) 互为傅里叶变换对。

值得注意的是,常数 1 的傅里叶变换也是 δ(t)\delta(t),可以通过将上式中的 ω\omegaω-\omega' 代替,得到:

12π+ejωtd(ω)=δ(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega' t}d(-\omega') = \delta(t)

12π+ejωtd(ω)=δ(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega' t}d(\omega) = \delta(t)

白:前后序列不相关,都是相同的功率谱。

例题

已知平稳随机过程的自相关函数为 Rτ=A4+AeβτR_{\tau} = \frac{A}{4} + Ae^{-\beta|\tau|}, 其中 A>0,β>0,<τ<+A > 0, \beta > 0, -\infty < \tau < +\infty,求其功率谱密度。

根据维纳-辛钦定理,功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换:

S(ω)=+R(t)ejωtdt=+A4ejωtdt++Aeβtejωtdt=A42πδ(ω)++Aeβtjωtdt=A42πδ(ω)+0Aeβtjωtdt+0+Aeβtjωtdt=A42πδ(ω)+01(βjω)Ae(βjω)td[(βjω)t]1(β+jω)0+Ae(β+jω)td[(β+jω)t]=A42πδ(ω)+1(βjω)Ae(βjω)tt=t=01(β+jω)Ae(β+jω)tt=0t=+=A42πδ(ω)+1(βjω)A+1(β+jω)A=π2Aδ(ω)+2Aββ2+ω2\begin{aligned} S(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty}R(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{A}{4}e^{-j\omega t}dt + \int_{-\infty}^{+\infty}Ae^{-\beta|t|}e^{-j\omega t}dt \\ &= \frac{A}{4} \cdot 2\pi \delta(\omega) + \int_{-\infty}^{+\infty}Ae^{-\beta|t|-j\omega t}dt \\ &= \frac{A}{4} \cdot 2\pi \delta(\omega) + \int_{-\infty}^{0}Ae^{\beta t-j\omega t}dt + \int_{0}^{+\infty}Ae^{-\beta t-j\omega t}dt\\ &= \frac{A}{4} \cdot 2\pi \delta(\omega) + \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(\beta-j\omega)} Ae^{(\beta-j\omega) t}d[(\beta-j\omega) t] \\ & \quad -\frac{1}{(\beta +j\omega)}\int_{0}^{+\infty}Ae^{-(\beta +j\omega) t}d-[(\beta +j\omega)t]\\ &= \frac{A}{4} \cdot 2\pi \delta(\omega) + \frac{1}{(\beta-j\omega)} Ae^{(\beta-j\omega) t}\Big|_{t=-\infty}^{t=0} \\ & \quad -\frac{1}{(\beta +j\omega)}Ae^{-(\beta +j\omega) t}\Big|_{t=0}^{t=+\infty}\\ &= \frac{A}{4} \cdot 2\pi \delta(\omega) + \frac{1}{(\beta-j\omega)} A + \frac{1}{(\beta +j\omega)}A \\ &= \frac{\pi}{2}A\delta(\omega) + \frac{2A\beta}{\beta^2+\omega^2} \end{aligned}

参考文献

众多维基百科条目。

  1. 傅里叶变换存在条件
  2. 圈频率形式的维纳-辛钦定理
  3. Derivation of Fourier Series
  4. Fourier Series
  5. From fourier series to fourier transform
  6. 狄拉克 δ\delta 函数
  7. int-infty-infty-eikxdx-equals-what
文章作者: upupming
文章链接: https://upupming.site/2018/12/27/fourier-transform/
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